3.1. Введение в нелинейное программирование

3.2. Общая задача нелинейного программирования

3.3. Введение в динамическое программирование

3.4. Особенности модели динамического программирования

3.5. Метод штрафных функций.

Введение в нелинейное программирование.

В большинстве инженерных задач построение математической модели не удается свести к задаче линейного программирования.

Математические модели в задачах проектирования реальных объектов или технологических процессов должны отражать реальные протекающие в них физические и, как правило, нелинейные процессы. Переменные этих объектов или процессов связанны между собой физическими нелинейными законами, такими, как законы сохранения массы или энергии. Они ограничены предельными диапазонами, обеспечивающими физическую реализуемость данного объекта или процесса. В результате, большинство задач математического программирования, которые встречаются в научно-исследовательских проектах и в задачах проектирования – это задачи нелинейного программирования (НП).

Постановка задачи. Как уже упоминалось во введении, предположение о возможности описать зависимости между управляемыми переменными с помощью линейных функций далеко не всегда адекватно природе моделируемого объекта. Например, в рассмотренных в главе 1 моделях цена товара считается независимой от количества произведенного продукта, однако в повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что она может зависеть от объема партии товара. Аналогичные замечания могут быть сделаны и по поводу технологических ограничений: расход определенных видов сырья и ресурсов происходит не линейно, а скачкообразно (в зависимости от объема производства). Попытки учесть эти факторы приводят к формулировке более общих и сложных оптимизационных задач. Изучение методов их решения составляет предмет научной области, получившей названия нелинейного программирования.

Общая задача нелинейного программирования (ОЗНП) определяется как задача нахождения максимума (или минимума) целевой функции f(x₁, х_2,..., x_n) на множестве D, определяемом системой ограничений

где хотя бы одна из функций f или g_i является нелинейной.

По аналогии с линейным программированием ЗНП однозначно определяется парой (D, f) и кратко может быть записана в следующем виде

Также очевидно, что вопрос о типе оптимизации не является принципиальным. Поэтому мы, для определенности, в дальнейшем по умолчанию будем рассматривать задачи максимизации.

Как и в ЗЛП, вектор х* = (x₁^*,x₂^*,...,x_n^*) D называется допустимым планом, а если для любого x D выполняется неравенство f(x*) ≥ f(x), то х* называют оптимальным планом. В этом случае х*является точкой глобального максимума.

С точки зрения экономической интерпретации f(x) может рассматриваться как доход, который получает фирма (предприятие) при плане выпуска х, а g_i(х) ≤ 0 как технологические ограничения на возможности выпуска продукции. В данном случае они являются обобщением ресурсных ограничений в ЗЛП (а_iх – b_i ≤ 0).

Задача (2.2) является весьма общей, т. к. допускает запись логических условий, например:

или запись условий дискретности множеств:

Набор ограничений, определяющих множество D, при необходимости всегда можно свести либо к системе, состоящей из одних неравенств:

либо, добавив фиктивные переменные у, к системе уравнений:

Перечислим свойства ЗНП, которые существенно усложняют процесс их решения по сравнению с задачами линейного программирования:

1. Множество допустимых планов D может иметь очень сложную структуру (например, быть невыпуклым или несвязным).

2. Глобальный максимум (минимум) может достигаться как внутри множества D, так и на его границах (где он, вообще говоря, будет не совпадать ни с одним из локальных экстремумов).

3. Целевая функция f может быть недифференцируемой, что затрудняет применение классических методов математического анализа.

В силу названных факторов задачи нелинейного программирования настолько разнообразны, что для них не существует общего метода решения.

Метод штрафных функций.

Основная задача метода штрафных функций состоит в преобразовании задачи минимизации функции

с соответствующими ограничениями, наложенными на х, в задачу поиска минимума без ограничений функции

Функция  является штрафной. Необходимо, чтобы при нарушении ограничений она «штрафовала» функцию Z, т.е. увеличивала её значение.В этом случае минимум функции Z будет находиться внутри области ограничений. Функция , удовлетворяющая этому условию, может быть не единственной. Задачу минимизации можно сформулировать следующим образом:

минимизировать функцию 

при ограничениях .

Функцию  удобно записать следующим образом:

где r – положительная величина.

Тогда функция  принимает вид

.

Если х принимает допустимые значения, т.е. значения, для которых , то Z принимает значения, которые больше соответствующих значений  (истинной целевой функции данной задачи), и разность можно уменьшить за счет того, что r может быть очень малой величиной. Но если х принимает значения, которые хотя и являются допустимыми, но близки к границе области ограничений, и по крайней мере одна из функций  близка к нулю, тогда значения функции , и следовательно значения функции Z станут очень велики. Таким образом, влияние функции  состоит в создании «гребня с крутыми краями» вдоль каждой границы области ограничений. Следовательно, если поиск начнется из допустимой точки и осуществляется поиск минимума функции  без ограничений, то минимум, конечно, будет достигаться внутри допустимой области для задачи с ограничениями. Полагая r достаточно малой величиной, для того чтобы влияние  было малым в точке минимума, мы можем сделать точку минимума функции без ограничений совпадающей с точкой минимума задачи с ограничениями.

Динамическое  программирование — это вычислительный метод для решения задач определенной структуры. Возникло и сформировалось в 1950-1953 гг. благодаря работам Р. Беллмана над динамическими задачами управления запасами. В упрощенной формулировке динамическое программирование представляет собой направленный последовательный перебор вариантов, который обязательно приводит к глобальному максимуму.

Основные необходимые свойства задач, к которым возможно применить этот принцип:

1. Задача должна допускать интерпретацию как n-шаговый процесс принятия решений.
2. Задача должна быть определена для любого числа шагов и иметь структуру, не зависящую от их числа.
3. При рассмотрении k-шаговой задачи должно быть задано некоторое множество параметров, описывающих состояние системы, от которых зависят оптимальные значения переменных. Причем это множество не должно изменяться при увеличении числа шагов.
4. Выбор решения (управления) на k-м шаге не должен оказывать влияния на предыдущие решения, кроме необходимого пересчета переменных.

Задача о выборе траектории, задача последовательного принятия решения, задача об использовании рабочей силы, задача управления запасами — классические задачи динамического программирования.

 Особенности математической модели динамического программирования:

1. задача оптимизации формулируется как конечный многошаговый процесс управления;
2. целевая функция (выигрыш) является аддитивной и равна сумме целевых функций каждого шага:
   
3. выбор управления x_k на каждом шаге зависит только от состояния системы k этому шагу S_k-1, и не влияет на предшествующие шаги (нет обратной связи);
4. состояние системы S_k после каждого шага управления зависит только от предшествующего состояния системы S_k-1 и этого управляющего воздействия x_h (отсутствие последействия) и может быть записано в виде уравнения состояния: S_k = f_k(S_k-1 , x_k), k = 1, n;
5. на каждом шаге управление x_k зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние системы зависит S_k – от конечного числа параметров;
6. оптимальное управление представляет собой вектор , определяемый последовательностью оптимальных пошаговых управлений:  = (x*₁ , x*₂ , ..., x*_k , ..., x*_n ), число которых и определяет количество шагов задачи.