4.1. Многокритериальные задачи

4.2. Множество Парето

4.3. Метод идеальной точки

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

- математическая модель принятия оптимального решения одновременно по нескольким критериям. Эти критерии могут отражать оценки различных качеств объекта (или процесса), по поводу которых принимается решение, или оценки одной и той же его характеристики, но с различных точек зрения. Теория М. з. относится к числу математических методов исследования операций.

Метод идеальной точки

«Идеальная точка» - идеальный объект в многомерном пространстве критериев, имеющий экстремальные значения всех критериев.

, где  - векторная оценка идеальной точки  в критериальном пространстве.

 – расстояние между альтернативой и идеальной точкой.

Нахождение оптимального решения сводится к отысканию альтернативы , наиболее близкой к идеальной точке: 

Определение множества Парето

Часто требуется не просто сравнить объекты между собой, а выбрать из них наилучшие. Определение множества Парето позволяет исключить заведомо неподходящие объекты [9]. Множество Парето обладает следующим свойством: любой из объектов, входящих в это множество, хотя бы по одному критерию лучше любого другого объекта, входящего в это множество.

То есть, определение данного множества помогает из всего множества объектов исключить те, которые уступают другим объектам по всем критериям.

Покажем, как это делается. Пусть имеется множество объектов, оцениваемых по k критериям − W₁, W₂, ... , W_k. Для простоты предположим, что значения всех критериев необходимо максимизировать. Пусть среди множества объектов есть два х₁ и х₂ таких, что значения всех критериев W₁, W₂, ... , W_k для первого из них больше или равны соответствующим значениям второго критерия, причем хотя бы один из них действительно больше. Очевидно, что в составе всего множества объектов нет смысла сохранять объект x₂, он вытесняется (или, как говорят, "доминируется") объектом х₁. Поэтому объект х₂ исключается из этого множества как неконкурентоспособный, а остальные объекты сравниваются аналогичным образом. В результате такой процедуры отбрасывания заведомо непригодных объектов исходное множество обычно сильно уменьшается.

При наличии двух критериев можно проиллюстрировать это следующим рисунком (рис. 2.1). Множество состоит из конечного числа объектов. Каждому объекту соответствуют определенные значения показателей W₁, W₂, т.е. объект изображается в виде точки на плоскости с координатами W₁, W₂.

Рис. 2.1. Множество Парето

Очевидно, что объекты, принадлежащие множеству Парето, будут располагаться на правой верхней границе области (объекты х₁, x₄, x₇). Для всех остальных объектов существует хотя бы один доминирующий, для которого либо W₁, либо W₂, либо оба критерия имеют большие значения, чем для данного объекта.

При числе критериев больше трех геометрическая интерпретация теряет наглядность, но суть дела сохраняется. Результирующее множество объектов легче обозримо, чем исходное множество.